Μαθηματικά για όλους/Γενικό τυπολόγιο

Μαθηματικές σταθερέςΕπεξεργασία

 

 

  • e: βάση των φυσικών λογαρίθμων.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  • γ: σταθερά Euler.

 

 

 

 

 

 

  • rad = ακτίνιο.

 

Αξιοσημείωτες ταυτότητεςΕπεξεργασία

Αναπτύγματα δυνάμεων διωνύμωνΕπεξεργασία

Οι επόμενοι τύποι αποτελούν μερική εφαρμογή του τύπου διωνύμου για  .

 

  • Ανάπτυγμα τετραγώνου αθροίσματος δύο όρων.

 

  • Ανάπτυγμα τετραγώνου διαφοράς δύο όρων.

 

  • Ανάπτυγμα κύβου αθροίσματος δύο όρων.

 

  • Ανάπτυγμα κύβου διαφοράς δύο όρων.

 

  • Ανάπτυγμα τέταρτης δύναμης αθροίσματος δύο όρων.

 

  • Ανάπτυγμα τέταρτης δύναμης διαφοράς δύο όρων.

 

  • Ανάπτυγμα πέμπτης δύναμης αθροίσματος δύο όρων.

 

  • Ανάπτυγμα πέμπτης δύναμης διαφοράς δύο όρων.

 

  • Ανάπτυγμα έκτης δύναμης αθροίσματος δύο όρων.

 

  • Ανάπτυγμα έκτης δύναμης διαφοράς δύο όρων.

 

Οι συντελεστές μπορούν να υπολογιστούν από το τρίγωνο του Πασκάλ. Στην παραπάνω εικόνα η δύναμη είναι στην αριστερή στήλη, ενώ οι αντίστοιχοι συντελεστές βρίσκονται στην ίδια γραμμή και στη σειρά συνήθης ανάπτυξης του διωνύμου.

ΠαραγοντοποιήσειςΕπεξεργασία

Παραγοντοποιήσεις αθροισμάτων και διαφορών δυνάμεωνΕπεξεργασία

 

  • Παραγοντοποίηση διαφοράς τετραγώνων.

 

  • Παραγοντοποίηση διαφοράς κύβων.

 

  • Παραγοντοποίηση αθροίσματος κύβων.

 

  • Παραγοντοποίηση διαφοράς τέταρτης δύναμης.

 

  • Παραγοντοποίηση διαφοράς πέμπτης δύναμης.

 

  • Παραγοντοποίηση αθροίσματος πέμπτης δύναμης.

 

  • Παραγοντοποίηση διαφοράς έκτης δύναμης.

Γενίκευση παραγοντοποιήσεων αθροισμάτων και διαφορών δυνάμεωνΕπεξεργασία

  • Οι παρακάτω τύποι ισχύουν για  

 

 

 

 

Άλλες παραγοντοποιήσειςΕπεξεργασία

 

 

Ο τύπος του Διωνύμου και οι Διωνυμικοί ΣυντελεστέςΕπεξεργασία

Το παραγοντικόΕπεξεργασία

Για   ορίζεται:

 .

Για n = 0 ορίζεται:

 .

Ο τύπος του διωνύμουΕπεξεργασία

Για   είναι:

 

Διωνυμικοί συντελεστέςΕπεξεργασία

Για   και   ορίζονται οι διωνυμικοί συντελεστές ως εξής:

 

Ακόμη ορίζεται:

 

Ιδιότητες των διωνυμικών συντελεστώνΕπεξεργασία

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Επέκταση για δυνάμεις πολυωνύμωνΕπεξεργασία

 

Τύποι Κλασικής ΓεωμετρίαςΕπεξεργασία

Γεωμετρικά σχήματαΕπεξεργασία

ΤρίγωνοΕπεξεργασία

Περίμετρος:

 

Εμβαδό:

  , όπου   (ημιπερίμετρος)

  • Στην περίπτωση ορθογωνίου τριγώνου είναι  . Άρα: β = υ και:

 .

  • Στην περίπτωση ισόπλευρου τριγώνου είναι:  ,   και  . Οπότε:

Περίμετρος:

 

Εμβαδό:

 

Το ίδιο προκύπτει και από τον άλλο τύπο:

 

Ορθογώνιο παραλληλόγραμμοΕπεξεργασία

Περίμετρος:

 

Εμβαδό:

 

Πλάγιο παραλληλόγραμμοΕπεξεργασία

Περίμετρος:

 

Εμβαδό:

 

ΡόμβοςΕπεξεργασία

Περίμετρος:

 

Εμβαδό:

 

ΤετράγωνοΕπεξεργασία

Περίμετρος:

 

Εμβαδό:

 

ΤραπέζιοΕπεξεργασία

Περίμετρος:

 

Εμβαδό:

 

Κανονικό πολύγωνοΕπεξεργασία

1. Κανονικό πολύγωνο με n πλευρές και πλευρά α

Περίμετρος:

 

Εμβαδό:

 

2. Κανονικό πολύγωνο με n πλευρές εγγεγραμμένο σε κύκλο ακτίνας r

Περίμετρος:

 

Εμβαδό:

 

3. Κανονικό πολύγωνο με n πλευρές περιγεγραμμένο σε κύκλο ακτίνας r

Περίμετρος:

 

Εμβαδό:

 

ΚύκλοςΕπεξεργασία

1. Κύκλος με ακτίνα r:

Περιφέρεια:

 

Εμβαδό:

 

2. Τομέας κύκλου ακτίνας r, τόξου θ (σε ακτίνια, rad):

Μήκος τόξου:

 

Εμβαδό:

 

3. Τμήμα κύκλου ακτίνας r, τόξου θ (σε ακτίνια, rad):

 

4. Κύκλος ακτίνας r εγγεγραμμένος σε τρίγωνο με πλευρές α, β, γ:

 
όπου  

5. Κύκλος ακτίνας r περιγεγραμμένος σε τρίγωνο με πλευρές α, β, γ:

 
όπου  

Τριγωνομετρικοί τύποιΕπεξεργασία

  • Ημίτονο της Β:

 

  • Συνημίτονο της Β:

 

  • Εφαπτομένη της Β:

 

  • Συνεφαπτομένη της Β:

 

  • Τέμνουσα της Β:

 

  • Συντέμνουσα της Β:

 

Σχέσεις μεταξύ τριγωνομετρικών αριθμώνΕπεξεργασία

 

 

 

 

 

 

 

Τιμές των τριγωνομετρικών συναρτήσεων διαφόρων γωνιώνΕπεξεργασία

Β (°) Β (rad) sin B cos B tan B cot B sec B csc B
0 0 0 1 0 ±∞ 1 ±∞
15              
30             2
45       1 1    
60           2  
75              
90   1 0 ±∞ 0 ±∞ 1
105              
120           -2  
135       -1 -1    
150             2
165              
180 π 0 -1 0   -1 ±∞
195              
210             -2
225       1 1    
240           -2  
255              
270   -1 0 ±∞ 0   -1
285              
300           2  
315       -1 -1    
330             -2
345              
360 0 1 0   1  

Τύποι αναλυτικής γεωμετρίαςΕπεξεργασία

Όλες οι γεωμετρικές σχέσεις μπορούν να περιγραφούν με διανυσματικές σχέσεις. Το τυπολόγιο αυτό στηρίζεται στις πράξεις μεταξύ διανυσμάτων.

Βασικές σχέσειςΕπεξεργασία

 
Στην εικόνα εμφανίζονται τα μέτρα των γινομένων ως εμβαδά. Το σχήμα στηρίζεται στις εξής δύο σχέσεις: αβ=προββαβ=±προββα∙β και μέτρο του αxβ ισούται με α∙β∙ημθ=υβ∙β.
  • δxyz κατά μοναδικό τρόπο
  • δ γ=προβγδ γ
  • άρα δ γ=0 <=> δ και γ κάθετα μεταξύ τους
  • det|δ,γ|=|δxγ| είναι κατά απόλυτη τιμή το εμβαδόν του πλάγιου παραλληλόγραμμου που ορίζουν τα διανύσματα δ και γ
  • άρα det|δ,γ|=|δxγ|=0 <=> δ//γ <=> υπάρχει πραγματικός λ τέτοιος, ώστε γδ
  • |δ|2222
  • |δ| δεν είναι αρνητικός

Πράξεις με το συν-πλην άπειροΕπεξεργασία

Το συν άπειρο μπορεί να διανοηθεί ως ο μεγαλύτερος δυνατός αριθμός, ή για την ακρίβεια ως άπειρο εκλαμβάνουμε συνήθως ένα μέγεθος που τείνει στο συν ή πλην άπειρο. Οι ιδιότητες του μεγέθους που τείνει στο συν ή πλην άπειρο με τις διάφορες πράξεις ορίζονται με βάση την κοινή λογική, όταν αυτό είναι εφικτό. Σε αυστηρή μαθηματική γλώσσα τα άπειρα μελετώνται με όρια, ενώ θεωρούνται προσεγγίσεις και όχι αριθμοί. Έτσι, ισχύουν οι εξής ιδιότητες (θ είναι ένας οποιοσδήποτε θετικός πραγματικός αριθμός):

Πρόσθεση και αφαίρεσηΕπεξεργασία

  •  
  •  
  •  
  •  [1]

Πολλαπλασιασμός και διαίρεσηΕπεξεργασία

  •  
  •  
  •  
  •  

Παρομοίως με τη διαίρεση (γιατί 1/θ=η, όπου η ένας άλλος θετικός πραγματικός αριθμός)

Δυνάμη, ρίζα και λογάριθμοςΕπεξεργασία

  •  
  •  
  •  
  •  
  •  , όπου ν φυσικός αριθμός
  •  
  •  


  •  

0+, αν θ>1 και 0- αν 0<α<1

Πράξεις με το μηδέν και το άπειροΕπεξεργασία

  •  
  •  
  •  
  •  
  •  

Σειρές TaylorΕπεξεργασία

Οι σειρές Taylor ορίζονται σε απείρως παραγωγίσιμες συναρτήσεις. Για τις σειρές Maclaurin χρειάζεται επιπλέον να ορίζονται στο 0.

Σειρές Maclaurin:Επεξεργασία

Γενικός τύπος:  

  • Οι σειρά Maclaurin κάθε πολυωνυμικής συνάρτησης ισούται με την ίδια τη συνάρτηση.
  •  
  •  

Βασικό τυπολόγιο παραγώγων πραγματικών συναρτήσεων πραγματικής μεταβλητήςΕπεξεργασία

Οι παρακάτω τύποι ισχύουν υπό την προϋπόθεση ότι τα σύμβολα έχουν νόημα, δηλαδή αν υπάρχουν οι παράγωγοι που εμφανίζονται. Το x είναι η ανεξαρτητη μεταβλητή και a είναι μια μη μηδενική σταθερά.

  • Βασικές παράγωγοι ως προς x:
   
   
  (εννοείται x   0,1)  
   
  • Κανόνες παραγώγισης:
 
 1
 
  2
  (κανόνας της αλυσίδας)3
Σημείωση {{{1}}}


1:Ισχύει επαγωγικά ο τύπος και για περισσότερους όρους της πρόσθεσης, δηλαδή  
2: Ισχύει υπό την προϋπόθεση ότι g(x) διάφορο του μηδενός κοντά στο σημείο εύρεσης της παραγώγου.
3: Ισχύει μόνο αν η f δε γίνεται κάπου σταθερή (σύμφωνα με το σχολικό βιβλίο μαθηματικών της Γ΄Λυκείου). Αν στην περιοχή εύρεσης της παραγώου η f είναι σταθερή, τότε η παράγωγος ισούται με 0 κοντά στο σημείο εύρεσης της παραγώγου. Εξ' άλλου η g δε μεταβάλλεται σε κάποια περιοχή μόνο και μόνο αν df(x)=0 σε αυτήν την περιοχή, άρα δε μπορεί να εφαρμοστεί ο κανόνας.

Παραδείγματα εφαρμογής των κανόνωνΕπεξεργασία

  •  
  •  
  •  

*Προσοχή: Οι δύο παραπάνω τύποι ισχύουν, γιατί η συνάρτηση f(x)=ax δεν είναι σταθερή σε κανένα σημείο, ως γνήσια μονότονη.


  •  


ΣημειώσειςΕπεξεργασία

  1. Αυτές οι ιδιότητες επιβεβαιώνουν τη φιλοσοφική άποψη ότι το άπειρο είναι αμετάβλητο.