Θέματα Πανελληνίων Εξετάσεων/Μαθηματικά/Μαθηματικά Προσανατολισμού 2016/ΘΕΜΑ Γ

Θέμα Γ Πανελλαδικών εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού 2016 Γ' τάξης Γενικού Λυκείου και ΕΠΑΛ (Β' Ομάδα)

Γ1. Να λύσετε την εξίσωση $e^{x^{2}}-x^{2}-1=0,x\in \mathbb {R} .$ (Μονάδες 4)

Γ2. Να βρείτε όλες τις συνεχείς συναρτήσεις $f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ που ικανοποιούν την σχέση $f^{2}(x)=(e^{x^{2}}-x^{2}-1)^{2}$ για κάθε $x\in \mathbb {R}$ και να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 8)

Γ3. Αν $f(x)=e^{x^{2}}-x^{2}-1,x\in \mathbb {R}$ να αποδειχτεί ότι η $f$ είναι κυρτή. (Μονάδες 4)

Γ4. Αν $f$ είναι η συνάρτηση του ερωτήματος Γ3, να λυθεί η εξίσωση:

$f(|\eta \mu x|+3)-f(|\eta \mu x|)=f(x+3)-f(x)$

όταν $x\in [0,+\infty ).$ (Μονάδες 9)

Γ1

Έστω η συνάρτηση $f(x)=e^{x^{2}}-x^{2}-1,x\in \mathbb {R} .$

Παράγωγος της $f$

${\begin{alignedat}{2}f'(x)&=(e^{x^{2}}-x^{2}-1)'\\&=e^{x^{2}}(x^{2})'-2x\\&=2xe^{x^{2}}-2x\\&=2x(e^{x^{2}}-1)\end{alignedat}}$

Μελέτη προσήμου της $f'$

$f'(x)>0\Leftrightarrow 2x(e^{x^{2}}-1)>0$ Δεδομένου ότι:

$2x>0\Leftrightarrow x>0$

και

$e^{x^{2}}-1>0\Leftrightarrow e^{x^{2}}>1\Leftrightarrow e^{x^{2}}>e^{0}\Leftrightarrow x^{2}>0\Leftrightarrow x\neq 0$

συμπληρώνεται ο παρακάτω πίνακας προσήμων

$x$	$-\infty$		0	$+\infty$
$2x$	$-$		0	$+$
$e^{x^{2}}-1$	$+$		0	$+$
$f'(x)$	$-$		0	$+$

Μονοτονία της $f'$

$x$	$-\infty$		0	$+\infty$
$f'(x)$	$-$		0	$+$
$f(x)$	$\searrow$			$\nearrow$