Θέμα Β Πανελλαδικών εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού 2016 Γ' τάξης Γενικού Λυκείου και ΕΠΑΛ (Β' Ομάδα)
Δίνεται η συνάρτηση
f
(
x
)
=
x
2
1
+
x
2
,
x
∈
R
.
{\displaystyle f(x)={\frac {x^{2}}{1+x^{2}}},x\in \mathbb {R} .}
Β1.
f
{\displaystyle f}
f
{\displaystyle f}
f
.
{\displaystyle f.}
(Μονάδες 6)
Β2.
f
{\displaystyle f}
f
{\displaystyle f}
(Μονάδες 9)
Β3.
f
{\displaystyle f}
(Μονάδες 7)
Β4. Β1 , Β2 , Β3 να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης
f
{\displaystyle f}
(Μονάδες 3)
Εύρεση της δεύτερης παραγώγου της
f
{\displaystyle f}
f
″
(
x
)
=
(
2
x
(
x
2
+
1
)
2
)
′
=
(
2
x
)
′
(
x
2
+
1
)
2
−
2
x
(
(
x
2
+
1
)
2
)
′
(
(
x
2
+
1
)
2
)
2
=
2
(
x
2
+
1
)
2
−
2
x
⋅
2
(
x
2
+
1
)
⋅
2
x
(
x
2
+
1
)
4
=
(
x
2
+
1
)
(
2
x
2
+
2
−
8
x
2
)
(
x
2
+
1
)
4
=
2
−
6
x
2
(
x
2
+
1
)
3
{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}f''(x)&=\left({\frac {2x}{(x^{2}+1)^{2}}}\right)'\\&={\frac {(2x)'(x^{2}+1)^{2}-2x((x^{2}+1)^{2})'}{((x^{2}+1)^{2})^{2}}}\\&={\frac {2(x^{2}+1)^{2}-2x\cdot 2(x^{2}+1)\cdot 2x}{(x^{2}+1)^{4}}}\\&={\frac {(x^{2}+1)(2x^{2}+2-8x^{2})}{(x^{2}+1)^{4}}}\\&={\frac {2-6x^{2}}{(x^{2}+1)^{3}}}\\\end{alignedat}}}
Μελέτη προσήμου της
f
″
{\displaystyle f''}
Ο παρονομαστής της
f
″
{\displaystyle f''}
(
x
2
+
1
)
3
{\displaystyle (x^{2}+1)^{3}}
x
∈
R
{\displaystyle x\in \mathbb {R} }
f
″
{\displaystyle f''}
f
″
(
x
)
=
0
⇔
2
−
6
x
2
=
0
⇔
x
=
±
1
3
=
±
3
3
{\displaystyle f''(x)=0\Leftrightarrow 2-6x^{2}=0\Leftrightarrow x=\pm {\tfrac {1}{\sqrt {3}}}=\pm {\tfrac {\sqrt {3}}{3}}}
f
″
(
x
)
>
0
⇔
2
−
6
x
2
>
0
⇔
x
∈
(
−
3
3
,
3
3
)
{\displaystyle f''(x)>0\Leftrightarrow 2-6x^{2}>0\Leftrightarrow x\in (-{\tfrac {\sqrt {3}}{3}},{\tfrac {\sqrt {3}}{3}})}
α
{\displaystyle \alpha }
α
=
−
6
{\displaystyle \alpha =-6}
f
″
(
x
)
<
0
⇔
2
−
6
x
2
<
0
⇔
x
∈
(
−
∞
,
−
3
3
)
∪
(
3
3
,
+
∞
)
{\displaystyle f''(x)<0\Leftrightarrow 2-6x^{2}<0\Leftrightarrow x\in (-\infty ,-{\tfrac {\sqrt {3}}{3}})\cup ({\tfrac {\sqrt {3}}{3}},+\infty )}
Τα παραπάνω συνοψίζονται στον πίνακα:
x
{\displaystyle x}
−
∞
{\displaystyle -\infty }
−
3
3
{\displaystyle -{\tfrac {\sqrt {3}}{3}}}
3
3
{\displaystyle {\tfrac {\sqrt {3}}{3}}}
+
∞
{\displaystyle +\infty }
f
″
(
x
)
{\displaystyle f''(x)}
−
{\displaystyle -}
0
+
{\displaystyle +}
0
−
{\displaystyle -}
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
∩
{\displaystyle \cap }
∪
{\displaystyle \cup }
∩
{\displaystyle \cap }
Συνεπώς η
f
{\displaystyle f}
(
−
∞
,
−
3
3
]
{\displaystyle (-\infty ,-{\tfrac {\sqrt {3}}{3}}]}
[
3
3
,
+
∞
)
{\displaystyle [{\tfrac {\sqrt {3}}{3}},+\infty )}
[
−
3
3
,
3
3
]
{\displaystyle [-{\tfrac {\sqrt {3}}{3}},{\tfrac {\sqrt {3}}{3}}]}
Σημεία καμπής παρουσιάζει στο
−
3
3
{\displaystyle -{\tfrac {\sqrt {3}}{3}}}
3
3
{\displaystyle {\tfrac {\sqrt {3}}{3}}}
A
(
−
3
3
,
f
(
−
3
3
)
)
{\displaystyle A(-{\tfrac {\sqrt {3}}{3}},f(-{\tfrac {\sqrt {3}}{3}}))}
B
(
3
3
,
f
(
3
3
)
)
{\displaystyle B({\tfrac {\sqrt {3}}{3}},f({\tfrac {\sqrt {3}}{3}}))}
A
(
−
3
3
,
1
4
)
{\displaystyle A(-{\tfrac {\sqrt {3}}{3}},{\tfrac {1}{4}})}
B
(
3
3
,
1
4
)
{\displaystyle B({\tfrac {\sqrt {3}}{3}},{\tfrac {1}{4}})}
Κατακόρυφες ασύμπτωτες Το πεδίο ορισμού της
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
C
f
{\displaystyle C_{f}}
Πλάγιες ασύμπτωτες Έλεγχος στο
−
∞
{\displaystyle -\infty }
lim
x
→
−
∞
f
(
x
)
x
=
lim
x
→
−
∞
x
2
x
(
1
+
x
2
)
=
lim
x
→
−
∞
x
2
x
3
=
lim
x
→
−
∞
1
x
=
0
{\displaystyle \lim _{x\to -\infty }{\frac {f(x)}{x}}=\lim _{x\to -\infty }{\frac {x^{2}}{x(1+x^{2})}}=\lim _{x\to -\infty }{\frac {x^{2}}{x^{3}}}=\lim _{x\to -\infty }{\frac {1}{x}}=0}
και
lim
x
→
−
∞
f
(
x
)
=
lim
x
→
−
∞
x
2
1
+
x
2
=
lim
x
→
−
∞
x
2
x
2
=
lim
x
→
−
∞
1
=
1
{\displaystyle \lim _{x\to -\infty }f(x)=\lim _{x\to -\infty }{\frac {x^{2}}{1+x^{2}}}=\lim _{x\to -\infty }{\frac {x^{2}}{x^{2}}}=\lim _{x\to -\infty }1=1}
Συνεπώς η
C
f
{\displaystyle C_{f}}
−
∞
{\displaystyle -\infty }
y
=
1
{\displaystyle y=1}
Έλεγχος στο
+
∞
{\displaystyle +\infty }
lim
x
→
+
∞
f
(
x
)
x
=
lim
x
→
+
∞
x
2
x
(
1
+
x
2
)
=
lim
x
→
+
∞
x
2
x
3
=
lim
x
→
+
∞
1
x
=
0
{\displaystyle \lim _{x\to +\infty }{\frac {f(x)}{x}}=\lim _{x\to +\infty }{\frac {x^{2}}{x(1+x^{2})}}=\lim _{x\to +\infty }{\frac {x^{2}}{x^{3}}}=\lim _{x\to +\infty }{\frac {1}{x}}=0}
και
lim
x
→
+
∞
f
(
x
)
=
lim
x
→
+
∞
x
2
1
+
x
2
=
lim
x
→
+
∞
x
2
x
2
=
lim
x
→
+
∞
1
=
1
{\displaystyle \lim _{x\to +\infty }f(x)=\lim _{x\to +\infty }{\frac {x^{2}}{1+x^{2}}}=\lim _{x\to +\infty }{\frac {x^{2}}{x^{2}}}=\lim _{x\to +\infty }1=1}
Συνεπώς η
C
f
{\displaystyle C_{f}}
+
∞
{\displaystyle +\infty }
y
=
1
{\displaystyle y=1}
![{\displaystyle (-\infty ,0]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0241c015ef4c611c9c9aeafb395e7c4a16178405)
![{\displaystyle (-\infty ,-{\tfrac {\sqrt {3}}{3}}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05daff20666a9f81da095863ad170b83f1653213)
![{\displaystyle [-{\tfrac {\sqrt {3}}{3}},{\tfrac {\sqrt {3}}{3}}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a72f1a016eaad4724bd772cc9c1d6b33b3b359e)
(x%5E2%2B1).png)