Γραμμική εξίσωση

Εξίσωση

Σε αυτό το κεφάλαιο, θα εισάγουμε μια πολύ βασική έννοια των μαθηματικών, την εξίσωση. Η εξίσωση βοηθά στην επίλυση αρκετών προβλημάτων μαθηματικών καθώς και άλλων επιστημών, όπως φυσική, χημείας κλπ. Σε προηγούμενα κεφάλαια, είχαμε αναφέρει ότι η εξίσωση είναι μια σχέση που περιέχει το ίσον. Συγκεκριμένα, η εξίσωση μας δείχνει ότι μια παράσταση είναι ίση με μια άλλη. Για παράδειγμα, η σχέση:

$a=b$

είναι μια εξίσωση και μας δείχνει ότι η μεταβλητή $a$ είναι ίση με την $b$. Υπάρχουν εξισώσεις με μία, δύο, τρεις ή και περισσότερες μεταβλητές. Επίσης, υπάρχουν εξισώσεις με τετράγωνα (δηλαδή οι μεταβλητές είναι δευτέρου βαθμού όπως λέγονται), με κύβους (τρίτου βαθμού), με τέταρτες δυνάμεις και ούτω καθεξής.

Μερικά παραδείγματα εξισώσεων:

$3a+5=2a+4$

$5a^{2}+3c=2b+5$

$12a^{4}+5a^{3}+2b^{2}+4c=20d-5a^{4}+1$

Να σημειώσουμε ότι η παράσταση αριστερά από το ίσον ονομάζεται πρώτο ή αριστερό μέλος, ενώ η δεξιά από το ίσον ονομάζεται δεύτερο ή δεξί μέλος.

Τώρα, θα αναφερθούμε στις ιδιότητες των εξισώσεων. Οι εξισώσεις είναι σαν ένας ζυγός που θέλουμε ισορροπεί πάντα. Αν προσθέσουμε στο ένα άκρο του ένα αντικείμενο συγκεκριμένου βάρους, τότε πρέπει να προσθέσουμε και στο άλλο άκρο του το ίδιο βάρος. Ομοίως, αν αφαιρέσουμε ένα βάρος από το ένα άκρο, τότε πρέπει να αφαιρέσουμε το ίδιο βάρος και από το άλλο άκρο.

Το ίδιο ισχύει και στις εξισώσεις. Μπορούμε να προσθέσουμε, να αφαιρέσουμε, να πολλαπλασιάσουμε και να διαιρέσουμε με τον ίδιο αριθμό και στα δύο μέλη της. Για παράδειγμα οι εξισώσεις $2a+3=3a+2$ και $2a+3-3=3a+2-3$ είναι ισοδύναμες, επειδή αφαιρέσαμε τον αριθμό 3 και από τα δύο μέλη της.

Τέλος, ο σκοπός μας σε μια εξίσωση είναι να βρούμε με ποιόν αριθμό είναι ίση η εξίσωση. Αυτός ο αριθμός ονομάζεται λύση της εξίσωσης.

Για παράδειγμα, στην εξίσωση:

$2x=4$

η λύση της εξίσωσης είναι η $x=2$. Παρατηρούμε ότι αν την αντικαταστήσουμε στην εξίσωση, και τα δύο μέλη της θα είναι ίσα, δηλαδή θα έχουμε:

$2x=4$

$2\cdot 2=4$

$4=4$

Έτσι, παρατηρούμε ότι ισχύει η ισότητα και έτσι πράγματι ισχύει η λύση $x=2$.

Γραμμικές εξισώσεις

Σε αυτό το κεφάλαιο θα ασχοληθούμε με τις πιο απλές εξισώσεις, τις γραμμικές εξισώσεις. Οι γραμμικές εξισώσεις είναι εξισώσεις με μια μεταβλητή και δεν υπάρχουν καθόλου δυνάμεις. Ένα παράδειγμα γραμμικής εξίσωσης είναι το παρακάτω:

$5x+4=6x+7$

Σε αυτό το κεφάλαιο θα μάθουμε πως να λύνουμε τέτοιες εξισώσεις, δηλαδή να βρίσκουμε το $x$ αλγεβρικά.

Πρώτα από όλα, θα λύσουμε την πιο απλή μορφή εξισώσεων.

Να λύσετε την εξίσωση $3x=12$. (Δηλαδή να βρείτε το $x$).

Υπόδειξη: να χρησιμοποιήσετε τις ιδιότητες των εξισώσεων. Επίσης, όταν ζητάμε να λύσουμε μια εξίσωση, δεν πρέπει να πούμε αμέσως την λύση. Αντιθέτως, πρέπει να χρησιμοποιήσουμε τις ιδιότητες των εξισώσεων που αναφέραμε παραπάνω για να την λύσουμε. Για παράδειγμα, να λύσετε την παρακάτω εξίσωση:

$3x=6$

Εύκολα, βρίσκουμε ότι $x=2$, όμως είναι λάθος να γράψουμε απευθείας την λύση. Αντιθέτως, πρέπει να χρησιμοποιήσουμε τις ιδιότητες στην εξίσωση και τελικά να καταλήξουμε στο $x=2$ (δηλαδή πρέπει να απομονώσουμε το x). Όμως, εγώ θα σας αφήσω μόνοι σας να σκεφτείτε τον τρόπο που θα ακολουθήσουμε για να λύσετε τις εξισώσεις που ακολουθούν.

Μερικές ακόμη εξισώσεις για εξάσκηση:

(πολλαπλασιασμοί)

$5x=20$

$12x=36$

$25x=100$

$7x=77$

(κλάσματα)

${\dfrac {x}{5}}=3$

${\dfrac {x}{4}}=5$

${\dfrac {x}{8}}=7$

(πολλαπλασιασμοί και διαιρέσεις)

${\dfrac {2x}{5}}=4$

${\dfrac {3x}{6}}=5$

${\dfrac {x3}{4}}=12$

$7={\dfrac {2x}{3}}$

Τώρα, θα ασχοληθούμε με εξισώσεις που περιέχουν προσθέσεις και αφαιρέσεις: (Να θυμάστε τις ιδιότητες των εξισώσεων.)

$x+5=20$

$x-5=20$

$x+100=150$

$x-20=80$

$x+3-5=80+2$

$-4+5=12-x$

$12+x=15-7$

Αυξάνεται ο πήχης δυσκολίας:

$2x+5=20-2$

$5x+2x+2=12-5+4$

$12x-2x-3=2x+5-4+x$

$7x+2x-5=-2x+1$

$12x-5+5x-12=7+2x-12+x$

$5x+3x-2=20-3x+4$

Τώρα, θα κάνουμε μια επανάληψη και θα σας δείξουμε αναλυτικά τον τρόπο επίλυσης των γραμμικών εξισώσεων. Θα πάρουμε για παράδειγμα την εξίσωση $2x+7-3x=12x+5$

1. $-x+7=12x+5$ (Κάνουμε όσες πράξεις γίνονται στα δύο μέλη της εξίσωσης.)

2. $-x-12x+7=12x+5-12x$ (Τώρα, θα προσπαθήσουμε να φέρουμε στο δεξί μέλος όλα τα $x$ και στο αριστερό τους αριθμούς. Αφαιρούμε και από τα δύο μέλη το $12x$)

3. $-13x+7=5$ (Κάνουμε πράξεις.)

4. $-13x+7-7=5-7$ (Αφαιρούμε το 7.)

5. $-13x=-2$ (Κάνουμε πράξεις.)

6. $x={\dfrac {-2}{-13}}$ (Διαιρούμε με το -13 και έτσι απομονώσαμε το x.)

Να συμπληρώσουμε ότι με αυτόν τον κανόνα μπορούμε να λύσουμε όλες τις γραμμικές εξισώσεις. Σε αργότερο κεφάλαιο θα μάθουμε πως να λύνουμε γραμμικές εξισώσεις με έναν πιο γρήγορο τρόπο.