Αναγωγή ομοίων όρων
Πράξεις μεταξύ μεταβλητών επεξεργασία
Αυτό το κεφάλαιο αποτελεί, κατά την γνώμη μας, τα θεμέλια για την άλγεβρα. Όπως είπαμε στο προηγούμενο κεφάλαιο, το χαρακτηριστικό της άλγεβρας είναι οι μεταβλητές. Οι μεταβλητές συμβολίζονται με ένα οποιοδήποτε γράμμα της ελληνικής ή της αγγλικής αλφαβήτου. Για να καταλάβετε καλύτερα την έννοια, ας δώσουμε ένα παράδειγμα. Υποθέτουμε ότι έχουμε δύο κόκκινα, τρία πράσινα και τέσσερα μπλε αυτοκίνητα. Για να υπολογίσουμε πόσα αυτοκίνητα έχουμε συνολικά, απλά προσθέτουμε και έτσι έχουμε:
Επομένως, έχουμε συνολικά 9 αυτοκίνητα. Τώρα ας υποθέσουμε ότι συμβολίζουμε τα αυτοκίνητα με την μεταβλητή a (μπορούμε να βάλουμε οποιοδήποτε γράμμα της επιλογής μας). Για να βρούμε το σύνολο των αυτοκινήτων, όπως προηγουμένως, προσθέτουμε:
(Στην άλγεβρα, όταν υπάρχει το σύμβολο του πολλαπλασιασμού μεταξύ ενός γράμματος και ενός αριθμού, τότε μπορούμε να το παραλείψουμε. Για παράδειγμα, μπορούμε να γράψουμε: ή .)
Όπως παρατηρείτε, μπορούμε να κάνουμε πράξεις μεταξύ μεταβλητών του ίδιου είδους, δηλαδή ίδιου γράμματος. Όμως, δεν μπορούμε να προσθέσουμε μεταβλητές που έχουν διαφορετικά γράμματα, όπως για παράδειγμα, δεν μπορούμε να προσθέσουμε μεταβλητές διαφορετικού είδους.
Για παράδειγμα, δεν μπορεί να γίνει η πρόσθεση και έτσι αφήνουμε τις μεταβλητές απείραχτες.
Για να καταλάβετε καλύτερα τις μεταβλητές ας δούμε την παρακάτω άσκηση:
Να κάνετε τις πράξεις:
α.
β.
γ.
Παρατήρηση: Όταν δεν υπάρχει αριθμός δίπλα από μια μεταβλητή, τότε εννοείτε ο αριθμός 1. Για παράδειγμα, . Όπως θα δούμε και παρακάτω, αυτή η εξαίρεση εξηγείται με το ουδέτερο στοιχείο του πολλαπλασιασμού.
δ.
ε. (ο όρος επαναλαμβάνεται 20 φορές)
Χρήσεις των μεταβλητών επεξεργασία
Τώρα, θα εξηγήσουμε γιατί υπάρχουν οι μεταβλητές. Οι μεταβλητές παριστάνουν οποιονδήποτε αριθμό. Φυσικό, αρνητικό ή κλάσμα ή ακόμη και τετραγωνική ρίζα. Τα πάντα. Για αυτό μπορούμε να πούμε ότι η άλγεβρα αποτελεί μια γενίκευση την αριθμητικής. Ενώ στην αριθμητική λύνουμε προβλήματα με συγκεκριμένους αριθμούς, στην άλγεβρα λύνουμε προβλήματα με μεταβλητές. Για αυτόν τον λόγο, υπάρχουν αρκετά φαινόμενα στην αριθμητική, που με χρήση της άλγεβρας μπορούμε να τα ερμηνεύσουμε. Άλλα για αυτά θα μιλήσουμε σε επόμενο κεφάλαιο.
Μια άλλη χρήση των μεταβλητών είναι η παράσταση άγνωστων αριθμών. Για παράδειγμα, ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να βρούμε έναν (άγνωστο) αριθμό που αν προστεθεί με το 5 δίνει 9.
Αλγεβρικά, μπορούμε να γράψουμε . Παρατηρούμε ότι τον άγνωστο αριθμό μπορούμε να τον συμβολίσουμε με ένα οποιοδήποτε γράμμα. Εμείς επιλέξαμε το q. Αυτή η ισότητα (δηλαδή η σχέση που περιέχει ίσον) ονομάζεται εξίσωση με μια μεταβλητή. Σε επόμενο μάθημα θα μάθουμε πως να λύνουμε τέτοιες σχέσεις.
Τώρα, θα προσπαθήσετε να μετατρέψουμε φράσεις σε αλγεβρικές σχέσεις. Έπειτα, να γράψετε αν είναι εξίσωση ή απλά μια αλγεβρική σχέση (θυμηθείτε: οι μεταβλητές χρησιμοποιούνται και για να περιγράψουν έναν οποιοδήποτε αριθμό)
1. Πολλαπλασιάζω έναν αριθμό με το 2.
2. Αφαιρώ έναν αριθμό από το 10 και έχω 20.
3. Το διπλάσιο ενός αριθμού αν αυξηθεί κατά 10 ισούται με το τετραπλάσιο του αριθμού.
4. Το τετράγωνο (δηλαδή η δεύτερη δύναμη) ενός αριθμού ισούται με 100.
5. Προσθέτω δύο στον κύβο (στην τρίτη δύναμη) ενός αριθμού.
6. Η τετάρτη δύναμη ενός αριθμού ισούται με 64.
7. Ένας αριθμός αν προστεθεί με έναν άλλον, δίνουν άθροισμα 10.
8. Το διπλάσιο ενός αριθμού ισούται με 10.
9. Αν αφαιρέσω από έναν αριθμό τον ίδιο αριθμό, παίρνω 0. (Αν θέλετε, εξηγήστε γιατί γίνεται αυτό.)